Simple Math, Again

[mommyrox]

Ну, вот казалось бы... Четвертый класс, тыщу раз пройденное, сто тыщ раз повторенное, милльон раз объясненное очередное решение шаблонной задачи (это опять же камень в огород обучения на готовых решениях, угу).

Мари: (пыхтит над ухом с недовольной моськой)
Mommyrox: Ты что-то хочешь сказать?
Мари: Ничего (уходит, через 5 минут приходит снова)
Mommyrox: Ты что-то хочешь?
Мари: Да, хочу, чтобы ты помогла мне с задачей, я не знаю, как ее решать.

"Из 69 литров молока получается 3 кг масла... сколько масла получится из 92 литров молока?" Ну, понятно, что мне не понятно, что тут может быть не понятно в принципе. Но я, начитавшись Детской комнаты по мотивам наших прошлых мучений, набираю в легкие воздуха и терпения, пытаюсь выяснить в чем затык, задаю вопросы. Что нужно узнать? (читает вопрос из учебника) Какие есть соображения, как это можно узнать? (никаких) Задаю еще несколько вопросов и, мне становится ясно, что тут тупик. По крайней мере с этой задачей не имеет смысла сейчас работать дальше. Бесполезно так же обучать ребенку "волшебным пассам" типа таких:

69 - 3
92 - икс

... и рисовать крестик, мол, тут умножить, тут разделить. С "волшебными пассами" и "готовыми формулами" у Мари как раз все очень хорошо, она их очень любит. До тех пор, пока помнит, какое там действие. А вот как забудет, то все - конец света. Потому что понимания почему тут умножить, а там разделить, а не наоборот - у нее ровно ноль. Как-то оно просто воспринимается, как "абра-кадабра" скажешь - оп! и готов правильный ответ, а почему не "кадабра-абра" и не "сим-селябим", и какая между ними разница, когда какое "волшебное" действие применять - ну, как Бог на душу положит, примерно по такому принципу, то есть без разницы совершенно!

Значит, если тут тупик, если молоко и масло все еще слишком абстрактно, нужно упрощать, искать обходные пути, искать что-то более конкретное, близкое и понятное. В моей голове крутятся противные мыслишки - куда уж проще-то! Ладно. Будет каша! Гречневая. Она ее умеет варить уже.

Mommyrox: (переворачивая лист, рисует кастрюлю) А вот эту задачу как решить: Мари сварила 6 литров гречневой каши из 2 стаканов гречки, сколько стаканов гречки нужно, чтобы сварить 15 литров..."
Мари: (воодушевленно) Риса?!
Mommyrox: Нет, гречневой каши. Рис в другой раз варить будем. Какие есть соображения на этот раз?

Ну, догадались уже, что никаких, да?
Mommyrox: Окей, никаких. У меня вот есть некоторые соображения. Допустим, вот 6 литров ты уже сварила из 2 стаканов. Если сварить еще столько же, то сколько получится каши всего?
Мари: 12 литров.
Mommyrox: Ага, откуда знаешь?
Мари: Ну, 6 и еще 6.
Mommyrox: А сколько стаканов гречки ушло?
Мари: 2 и еще 2, то есть 4 стакана ушло.
Mommyrox: 12 литров каши, это уже почти 15. Но надо сколько-то еще сварить.
Мари: Еще три литра каши надо до 15.
Mommyrox: Угу, надо. А сколько гречки сыпать, чтоб три литра сварить?
Мари: 1 стакан.
Mommyrox: Почему один? Может, лучше два?
Мари: Нет, нам надо 3 литра - это половина от шести литров, значит не два стакана нужно, а один.
Mommyrox: Угу, получается мы сварили 6 литров, потом еще 6, потом еще три, всего 15. А теперь давай посчитаем, сколько всего стаканов гречки ушло?
Мари: 2, 2 и 1, всего 5 стаканов.

Mommyrox: (шумно выдыхает) А как еще можно решить эту задачу? Как-то попроще.
Мари: Не знаю. (торопливо) Проще умножить 6 на 2.
Mommyrox: (выпадает в осадок) А зачем? Что ты этим узнаешь?
Мари: Получится 12.
Mommyrox: 12 чего? Умножить гречку в стаканах на кашу, которая из нее получилась?!
Мари: А, нет! 15 умножить на 2...

В этот момент мне очень захотелось убицца ап стену, чесслово. Я уже думала, что мы на пол-пути, что мы уже кое-что нащупали, какое-то понимание взаимоотношений между стаканами и кашей. Дальше я не буду приводить весь диалог, как мы пришли к тому, что просто умножать цифры друг на друга не имеет смысла, как договорились до того, что неплохо было бы знать, сколько каши получается из 1 стакана гречки, как мы вернулись к задаче про молоко и масло, и там опять началось феерическое умножение/деление на что-нибудь неважно на что и неважно почему и зачем, и как Мари таки додумалась (а не догадалась) какие действия с какими цифрами нужно производить, и почему, и что получится в результате.

Я просто напишу, что я охрипла от объяснений, хотя не кричала, нет. И я не понимаю, почему вот этот мост мы уже строим годами, и каждый раз заново с нуля.

Comments

[irka-knopkina.livejournal.com]

один. Надо сначала довести до одного.
Сколько литров каши можно сварить из одного стакана крупы?
Из скольких литров молока получится 1 кг масла?

Потом только умножить на нужное количество, и все.
Когда научится влет щелкать эти задачки, тогда уже давать обратные, где неизвестно меньшее число - в данном случае крупа и масло))

[mommyrox.livejournal.com]

дык, сколько раз уже объяснялось про 1 кг... бесполезно. она не понимает, зачем ей 1 кг, когда нужно узнать про 92 литра! ну, то есть мне хочется верить, что теперь вот, сегодня-то, наконец, понимает, но не факт, не факт... мне и в прошлый раз казалось, что она поняла...

[irka-knopkina.livejournal.com]

ну она же любит алгоритмы) Сказать ей, что это и есть алгоритм. Буквально на пальцах показать)) На рисунках))

[mommyrox.livejournal.com]

рисуем все задачи обязательно, угу.
и "на пальцах", монетах, яблоках тоже уже объясняли:
http://mommyrox.livejournal.com/55293.html
http://mommyrox.livejournal.com/66770.html

алгоритм хорош, пока она его помнит, а тут вот вылетело из головы, потому что они занимались осями координат какое-то время - и все, тупик.

[jjnatt.livejournal.com]

ООООООООООООО!!!!!!!!!!!!
Как все знакомо! И что делать - ума не приложу. Никакие умные книжки не помогают =(

[mommyrox.livejournal.com]

у меня появляются кой какие мысли насчет того, что делать конкретно в нашей ситуации - но пока нет времени этим заняться вплотную. самое смешное, что в реальной жизни это ребенку не мешает абсолютно, считать деньги, например, справляться с какими-то приземленными, конкретными задачами на то же самое умножение, деление...

[jjnatt.livejournal.com]

Поделитесь, пожалуйста, мыслями

[mommyrox.livejournal.com]

надо эти мысли опробовать в деле сначала =)
а уж по результатам отчитаюсь обязательно!

[jjnatt.livejournal.com]

Буду ждать эти ваши умные мысли - авось, что получится

[mommyrox.livejournal.com]

ну, не то чтоб сильно умные мысли, так, идея одна...
вот записала, как мы сейчас занимаемся: http://mommyrox.livejournal.com/97106.html

[janemouse.livejournal.com]

а ей не помогает, если нарисовать 2 стакана гречки как 2 закрашенные клеточки, скажем - и 6 стаканов каши, как 6 клеточек?

мой опыт подсказывает, что иногда подобные картинки и схемы могут навести на нужную мысль...

[mommyrox.livejournal.com]

схемы мы разные пробовали, они слишком абстрактны что ли. "магическое" превращение 2 в 6, или 69 в 3 в восприятии дочери требует столь же "магических" математических действий каких-нибудь. я почему собственно кашу взяла, потому что она видела и знает, почему ее становится больше после варки, тогда как процесс сбивания масла она не наблюдала. на какой-то момент удалось убрать "магический" фактор, и она считала литры каши и стаканы гречки как вполне реальные вещи, не пытаясь просто делать что-то с числами, что удобно (умножать на два, например).

[janemouse.livejournal.com]

а если в качестве схемы брать что-то, что можно пощупать?
весы игрушечные, и гирьки?
пластиковые крышечки от иммунелек и прочих соков и вод?
спички или счетные палочки?

игрушечный обмен валют?
за каждую синюю крышку в обменнике дают 3 кубика.
за 2 синий крышки сколько кубиков дадут?
а за 3 синих крышки?

а на сколько крышечек можно обменять 12 кубиков?

на одну счетную палочку дают 5 спичек.
а на 3 счетные палочки сколько?
а сколько палочек можно получить за 20 спичек?

[mommyrox.livejournal.com]

спасибо за подсказку, интересные материалы! я эти кубики крышки и обмен "валют" попробую с младшим, мы только начинаем сейчас счет с ним, а у Мари с этим проблем как раз нет. даже с настоящей валютой. мы из путешествий привозили разных денег и монет, и ей никогда не было сложно представить, что вот за это можно получить некоторое количество рублей, а за это - другое.

именно в практических, жизненных задачах она прекрасно справляется с математикой. например, когда наша общая с ней подруга сказала - Мари! я хочу тебе сделать подарок на день рождения, и у меня на это есть 600 рублей. Пойдем в магазин типа "Бантики-бусики-заколочки", и ты сама себе выберешь все, что хочешь, на эту сумму". меньше чем за 15 минут она набрала охапку девочкового счастья! там были вещи за 120, 135 рублей и на еще какие-то некруглые суммы. более того, она у кассы до того, как ей начали пробивать товар, сообщила, что тут ништяков на 610 рублей, но 10 рублей она добавит из своих карманных. это был конец первого класса, насколько я помню, они тогда оперировали только двузначными числами.

где-то я читала об этом, вот тут немного есть: http://www.as2x2.com/node/70 у нее трудности с переводом слов в цифры, и с пониманием того, как слова отображают взаимоотношения этих цифр. в подавляющем большинстве случаев схема, рисунок задачи помогает эту трудность преодолеть. у нее для этого есть специальный блокнот даже. но иногда этого недостаточно, как в случае с превращением молока в масло.

[janemouse.livejournal.com]

то есть проблем со счётом нет, с умножением-делением, нет, и это уже замечательно.
она и прикинуть приблизительно тоже может?
(тоже очень ценное свойство)
скажем, если она хочет купить несколько кексов по 19 р, сколько она сможет купить на 50р, на 100р?

проблема, как я понимаю, соотнести вот эти слова про молоко и масло - с нужной картинкой, да?
сложно построить ассоциацию между превращением молока в масло и обменом валют...

ну, на мой вкус - это как раз при помощи игр с предметами решается.
сперва меняем палочки на спички, потом спички - на фантики, потом фантики - на машинки, пока не возникнет автоматизм.
потом аналогично, но уже не щупаем спички и пр, а рисуем картинки подходящие...

а там уж можно будет начать и простые текстовые задачи на эту же тему

[mommyrox.livejournal.com]

да, с прикидкой, умножением/делением в практической жизни все хорошо. своими карманными деньгами она прекрасно распоряжается - ну, я бы может и поспорила НА ЧТО она их тратит, но с тем, чтобы прикинуть сколько ей надо, протянуть неделю до следующей выдачи, ни в чем себе не отказывая, или спланировать какие-то покупки - без проблем. с кексами и мороженым из макдональдс тоже без усилий справляется. таблица умножения ей понятна, но запомнить не может, ну кроме простых - на 2, на 5, на 10.остальные все равно сложением проверяет.

всякие задачки с предметами я ей подсовываю регулярно - щелкает как семечки, но на восприятии текстовой задачи это пока никак не отразилось. у меня даже складывается впечатление, что если задачу из учебника вслух прочитаю я, она становится ей более понятна - на слух.

[janemouse.livejournal.com]

то есть проблема возникает при прочтении текста -
он не складывается в картинку и схему.
если мама читает вслух, то она выделяет значимые моменты, и схема понятнее...
интересная картина.

а с восприятием художественного текста проблем, конечно нет?

[mommyrox.livejournal.com]

насчет художественного текста - сказать сложно. она запоем читает комиксы (художественный текст в сопровождении поясняющих картинок), с удовольствием слушает, когда ей читают, но не любит уроки литературы в школе, сама (не для школьного дневника читателя) прочитала одну книгу - Нил Гейман "Коралина", и провела отличный сравнительный анализ с мультфильмом в таких деталях, на которые я внимания не обратила. при этом у нее нет трудностей со скоростью и техникой чтения - смотрит мультфильмы на языке оригинала и читает титры, не нажимая на паузу, чтобы успеть прочитать.

[janemouse.livejournal.com]

ну, в таком случае, все-таки, возможно, что проблема - именно в чтении. скорость и техника - отдельно, а понимание тонкостей - отдельно...

я встречала детей, которые прекрасно соображают, но не могут сами дочитать и правильно понять текст задачи, но это обычно все-таки в 1-2 классе бывает...

"Васе 3 года назад было 5 лет. Сколько лет ему будет через 2 года?"
некоторые дети дочитывают условие до "Васе 3 года" - и всё! они уверены, что Васе 3 года! А через 2 года будет 5.

[mommyrox.livejournal.com]

я все больше склоняюсь к мысли, что дело именно в восприятии текста.
надо будет ей предложить эту задачку в качестве теста =)

[janemouse.livejournal.com]

я могу ещё много такого типа текстовых задачек придумать :)

вот это - ещё на порядок сложнее "Аня старше Маши на 2 года. Через сколько лет будет Маше будет столько лет, сколько Ане будет через год?"

[mommyrox.livejournal.com]

ого! тут даже я призадумалась =) через три, да?

[mommyrox.livejournal.com]

с первой она справилась, от второй отказалась - "не могу, не знаю как решить".

[janemouse.livejournal.com]

вторую можно упростить,
хотя я сама до сих пор задачи с такими формулировками перечитываю несколько раз :)

Саша старше Вани на 3 года.
через сколько лет Ваня будет такого возраста, как Саша сейчас?
сколько лет в этот момент будет Ване?

[mommyrox.livejournal.com]

хехе, наш папа вторую задачку перечитывал раз пять, а он у нас с цифрами на ты и перемножением трех- и четырехзначных чисел в уме развлекается за мытьем посуды =) в итоге решил при помощи иксов, насколько помню, это уже начало алгебры, хотя мне проще все-таки рассуждением.

с Сашей/Ваней Мари справилась - предположила, что Саше 7 лет, а Ване 4. И дальше уже все просто решилось. Потом мы пообсуждали разницу в возрасте ее и Лерика, и что даже если Саше будет не 7, а 57 или 107 - ответ все равно будет такой же, и пообсуждали почему.

а потом она спросила - а зачем мне эти задачки? я говорю - просто так! забавные же задачки. она - неееет! просто так ничего не бывает =) пришлось сказать, что это для развития математического рассуждения. такой ответ ее устроил =)

[janemouse.livejournal.com]

в том-то и дело, что умение оперировать цифрами и числами, и умение переводить текст в эти самые числа и схемы - совершенно разные вещи!

это вполне разумно для детей - предположить, что мы знаем возраст детей, а потом уже понять, что этот ответ верен и для любых других чисел.

[cleo-z.livejournal.com]

А мне все это знакомо "наоборот". Я часто в детстве так тупила, и чем больше мне объясняли, тем больше я отключалась и ничего не понимала. Потом все забили на мои уроки и я волшебным образом стала понимать. Технический вуз потом закончила:)

[mommyrox.livejournal.com]

я не лезу в уроки, пока не попросит, не проверяю правильность/аккуратность выполнения, и максимально стараюсь не объяснять даже. я тут пытаюсь добиться двух вещей: 1) для себя - понять в чем проблема и как помочь ее преодолеть 2) для ребенки - когда она забывает алгоритм решения задачи, эту магию формул, которые всегда дают правильные ответы независимо от того, понимает она почему так или нет, пытаюсь развернуть ее лицом к реальности этой задачи, чтобы ее не пугал и не ввергал в отчаяние страх "забыть, как это решается". Ну, потому что по себе знаю, насколько тяжело все всегда помнить, и насколько проще понимать.

[janemouse.livejournal.com]

о, я в прошлом году занималась репетиторством - знакомые очень попросили - с девочкой из 6 класса.
у нее от математики было стойкое ощущение, что это такой урок, на котором все соревнуются в телепатии - смотрят в лицо учителю, и стараются по выражению его лица понять, что делать с цифрами из условия: складывать или отнимать? умножать или делить?

мне пришлось начать с кучи простейших задач для 6-леток, прежде чем она поняла, что может решить задачу, нарисовав к ней свою схему, и не заглядывая мне в лицо за подтверждением того, что она правильно угадала!

[mommyrox.livejournal.com]

Джон Холт, кажется, в How Children Fail много пишет про эту "телепатию". а он как раз учитель математики =) хоть и в Америке в 60-80х годов, а ничего не изменилось! Видимо, этот способ популярен среди детей в глобальном масштабе =)

[janemouse.livejournal.com]

да-да, в этом году у меня другая ученица, 2 класс, 8 лет, в играх и в житейских ситуациях - весьма сообразительная девочка,
но как только речь идёт о математике, она скучнеет и пытается угадать по выражению моего лица - сложить или отнять?

видимо, многие дети подобным образом воспринимают уроки математики...
взрослые знают некий волшебный способ, и нам остаётся только гадать, которое из заклинаний сейчас применять

[hettie-lz.livejournal.com]

А технику hands-on equations знаете? Я, если Вы меня спросите, сама деталей не помню :-))), как -то они там весы уравновешивали:

http://pics.livejournal.com/hettie_lz/pic/00467wkf

Но я думаю, что методику где-нибудь найти можно. У моих в школе это очень хорошо шло (это второй класс, и, тем не менее, все было очень понятно)

[mommyrox.livejournal.com]

поищу, спасибо!

[mila-mints.livejournal.com]

Приехали ириша с Ваней, дала им упрощенный вариант задачи:"Из двух стаканов крупы получается шесть стаканов каши. А сколько крупы на до на девять стаканов каши?" Оба тут же отвечают, что три. Ириша поясняет:"Я хорошо умею считать тройками: три, шесть, девять." Понятно, что ни умножать, ни делить они не умеют. Спрашиваю посложнее:"А сколько крупы надо на двадцать четыре стакана каши?" На этот раз мгновенно отвечает Ваня и объясняет:"Шесть и шесть - двенадцать, двенадцать и двенадцать - двадцать четыре. Значит, восемь стаканов." Ну то есть он в параллель "за кадром" складывал необходимые стаканы, похоже на Мари.

[mommyrox.livejournal.com]

здорово =) и очень похоже, да!
я вообще не особенно переживала за ее математику, когда она была младше, потому что складывать цифры на билетиках в автобусе и вот такие задачки щелкать она начала между 4 и 5 годом где-то. то есть затруднение не в счете, как таковом, а где-то в другом месте.. пока пеняю на преобразование слов, текста задачи в цифры и отношения цифр. но не исключаю, что не до конца или неточно понимаю, в чем она испытывает затруднение и как помочь.

[mila-mints.livejournal.com]

Надо проверить, что с умением рассуждать. Для этого хорошо годятся задачи про возраст, которые предлагает Женя.

[nadine-n.livejournal.com]

конкретно с этой задачей я вижу, где засада:
"Мари: 2, 2 и 1, всего 5 стаканов.
Mommyrox: (шумно выдыхает) А как еще можно решить эту задачу? Как-то попроще."
Мари сама!! (ну пусть с подсказками, но сама) добыла решение, она гордится, что в конце-концов у нее получилось, она смогла! И тут же вы ей как обухом по голове - это твое решение не совсем хорошее :( Можно попроще...Естественно, у нее думалка тут же отключилась от такой критики..Да еще от родной мамы..
Можно было пропробовать сварить рис - пусть бы она решила своим способом, но уже без подсказок. Потом урожай собрать, овец постричь, коров подоить...Чтоб ребенок почувствовал уверенность, что вообще она может задачи такого типа решать сама. Мари в процессе скорее всего сама бы додумалась до более простого способа. А если нет - то есть хороший метод, называется "один мой знакомый мальчик":
Один мой знакомый мальчик Витя вот точно так же как ты решал эту задачу, а вот мальчик Саша решал другим способом - сначала сказал "найду-ка я, сколько каши получится из одного стакана, это легко сделать, в одно действие!" (как ты думаешь, Мари, получится ли у Саши в одно действие найти это? Как?). Затем Саша сказал "а теперь-то, когда я знаю, сколько каши из одного стакана получится, то остается совсем легкотня - в одно действие найти, сколько стаканов нужно для 15 литров каши!" (как ты думаешь, он прав? у него получится это в одно действие найти?).
А теперь давай сварим овсянку - и попробуем рещить и Витиным способом и Сашиным.
Ну вобщем - не критикуйте ребенкины решения. И не подсовывайте свои взрослые решения как единственно хорошие. Вы так только отнимаете у ребенка уверенность в своих силах...

[mommyrox.livejournal.com]

ну, э.. отчасти с вами соглашусь, что не была готова к более долгому обсуждению и еще десятку аналогичных задач конкретно в тот день, потому что было уже довольно поздно. но критики ее решения у меня не было - ни в мыслях, ни в интонации, ни в словах. это даже в большей степени "мое" решение, я же сама направила ход ее мыслей в сторону от шаблона, который им преподают в школе, как "единственный верный путь" - свести к единице (одному стакану или килограмму) и умножать что-то на что-то. Путь, который хоть и непонятен Мари, но действует как волшебное заклинание и дает верный ответ. мне наоборот ценно, что она пошла за мной в эти неструктурированные, нешаблонные дебри рассуждений, а не волшебных формул, так что я была далека от того, чтобы критиковать это первое решение.

больше всего меня удивило, что для нее "какое-то другое решение" означает просто любые другие действия с теми же цифрами. вместо того, чтобы рассуждать дальше, она переключилась снова в режим угадывания заклинаний. к этому я тоже была морально не готова. метод "знакомого мальчика" я, пожалуй, испробую - спасибо за подсказку - только несколько в ином ключе. я больше чем уверена, что им многажды объясняли как решаются такие задачи, но очевидно до сих пор Мари не понимает зачем ей знать про 1 стакан/килограмм и т.д. зачем мальчику Саше знать сколько каши из одного стакана? если ей, наконец, станет понятно зачем, исчезнет и проблема с забыванием волшебной формулы, по которой решаются такие задачи.

[nadine-n.livejournal.com]

я понимаю, что критики у вас не было - ни в мыслях, ни в интонации, ни в словах.. Но критика уже в самом вашем действии содержалась - Вы не дали ребенку времени и возможности порадоваться, что задача решилась, а вместо этого потребовали от нее тут же эту же (уже решенную!) задачу решить "более правильным" (для вас более правильным - это ребенок почувствовал) способом.
Надо было этот "более правильный" способ не на этой же, а на другой похожей задаче испробовать.
Если не помнить, зачем 1 стакан - значит потом пришел еще мальчик Петя и сказал "пф, Саша, тут совсен не нужно находить, сколько каши получится из одного стакана, надо совсем по-другому: 15 литров каши -это в два с половиной раза больше, чем 6 литров каши. Значит и стаканов крупы нужно в два с половиной раза больше, то есть 5 стаканов вместо двух." А Саша ему в ответ кричит: "Нет, надо сначала найти, сколько каши из одного стакана получится!" Вобщем, они чуть не подрались. представляешь? Вот что бы ты им сказала, если тебя попросили их помирить? Прав ли Саша, когда находит, сколко каши из одного стакана крупы? А Петино решение правильное? Чье решение тебе больше нравится?
Вобщем, смысл этих Петей и Сашей - включить ребенка в задачу не только логически, но и эмоционально. Сопереживать Пете-Саше. Если эмоции подключены - то точно не забывается потом.

[mommyrox.livejournal.com]

"включить ребенка в задачу не только логически, но и эмоционально."
да, на это надо будет обратить внимание в следующий раз.